Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

1.1. Основные разрешающие уравнения теории пологих оболочек и пластин

Расчет сопряженных элементов сосудов и аппаратов сводится к мысленному расчленению их на отдельные элементы, описанию напряженно-деформированного состояния каждого, удовлетворению условиям сопряжения на стыкуемых контурах. При этом надо также удовлетворять граничным условиям на “бесконечности”.

При расчете, например, плоского днища, то есть круглой пластинки, сопряженной по внутреннему контуру с кольцевым или оболочечным элементом, необходимо описать напряженно-деформированное состояние пластинки с отверстием и подкрепляющего элемента-кольца или цилиндрической оболочки. Основной элемент-пластинка подвергается внешним воздействием, которые характеризуются однородными полями растяжения и изгиба. При этом пластинка с круговым отверстием в области отверстия будет иметь зону повышенных напряжений – концентрацию напряжений.

Пусть пластинка или пологая сферическая оболочка занимает область с границей L (рис. 1.1). Под действием внешних нагрузок в пластинке возникает напряженное состояние , которое принято называть основным. Сделаем в пластинке отверстие, достаточно удаленное от границы L. Контур отверстия обозначим через Г.

В пластине, ограниченной контурами L + Г, возникает новое напряженное состояние. Многочисленные эксперименты [9, 49, 69] показали, что дополнительное напряженное состояние является быстрозатухающим по мере удаления от контура Г и вне некоторой зоны V*, охватывающее отверстие и ограниченное замкнутой кривой L* практически снижается до нуля. Размер зоны равен V* равен 5R [49], где R – радиус отверстия. Наличие подкреплений снижает этот размер до 3R. Таким образом, дополнительное напряженное состояние определяется для пластинки, у которой граница L* отодвинута в “бесконечность”.

Рис. 1.1. Пластинка с отверстием

Для описания дополнительного напряженного состояния, как это следует из [50], используются уравнения с большим показателем изменяемости, которые совпадают с уравнениями пологих оболочек.

Система двух разрешающих уравнение теории пологих оболочек имеет вид в случае отсутствия внешней загрузки [19]

                             (1.1)

где F и W – функции усилий и прогибов; D = Eh3/12(1 – u2) – цилиндрическая жесткость оболочки; Eh – жесткость оболочки на растяжение; Е – модуль Юнга; 1/R11, 1/R22 – главные кривизны; dS1, dS2 – дифференциалы координатных линий, совпадающих с линиями главных кривизн; ν– коэффициент Пуассона.

Для цилиндрической оболочки 1/R11 = 0, 1/R22 = 1/R, где R – радиус кривизны срединной поверхности оболочки, система уравнений примет вид

                                                     (1.2)

Если ввести функцию Ф, для которой

                                                       (1.3)

то система двух уравнений заменяется одним уравнением восьмого порядка [10]

                                                    (1.4)

Для сферической оболочки 1/R11 = 1/R22 = 1/R.

Система уравнений приобретает вид

                                                    (1.5)

Эту систему можно привести к одному уравнению четвертого порядка относительно комплексной функции . Для этого умножим второе уравнение системы (1.5) на il и сложим с первым. Получим

                                                            (1.6)

В случае, если главные кривизны равны нулю, то из (1.1) получим два отдельных уравнения для плоской задачи и задачи изгиба пластинки [10, 19]

                                                                             (1.7)

                                                                             (1.8)

Здесь через обозначен оператор Лапласа. – бигармонический оператор

                                                                              (1.9)

                                                       (1.10)

Если известна функция усилий, то сами усилия определяеются по формулам

                                         (1.11)

Изгибающие и крутящий моменты в пластинке определяются через функцию прогиба W

                                      

 Деформация растяжения-сжатия и сдвига в срединной плоскости и изменения кривизн и кручения равны