Pull down to refresh...

Главное меню

Main menu

1.2. Малые деформации криволинейных стержней

Часто встречающимся в сопряжениях элементом является криволинейный стержень, работающий на изгиб, кручение и растяжение-сжатие.

Рассмотрим уравнения, которые описывают малые деформации этого элемента. Сюда относятся уравнения равновесия, соотношения Клебша и зависимости Кирхгофа [30].

Рис. 1.2. Геометрия криволинейного стержня:

а) общий вид; б) поперечное сечение

Уравнение оси стержня в недеформированном состоянии относительно неподвижных координат Х, Y, Z можно задать в виде r = r(s). Через

обозначим подвижный репер кривой (рис. 1.2), где

(1.14)

и где s – дуга, отсчитываемая вдоль оси стержня; – радиус кривизны оси.

Введем также подвижную систему осей (триедр) совпадающую с главными осями инерции стержня ортами которые в свою очередь составляют угол f между то есть

(1.15)

При перемещении триедра вдоль оси стержня со скоростью, равной единице, его движение будет характеризоваться вектором угловой скорости проекции которого представляют собой компоненты кривизны и кручения стержня.

Деформации изменяют кинематику криволинейного пространственного стержня. Произвольная точка оси М переходит в точку , и перемещение будет иметь проекции на местный базис u, v, w, причем деформации принимаются малыми, а ось стержня – нерастяжимой. Кроме этого, в связи с переходом системы координат в происходит бесконечно малый поворот, характеризуемый вектором проекции которого дают угловые деформации стержня. Скорость подвижного триедра становится равной где – вектор изменения кривизны и кручения.

Четыре вектора связаны между собой двумя следующими соотношениями Клебша [30]

(1.16)

Статико-геометрическая аналогия в теории криволинейных стержней по [30] предопределяет аналогию следующих факторов

где – главный вектор и главный момент внутренних сил упругости в стержне; – вектор внешней нагрузки.

Четыре вектора связаны уравнениями статики (равновесия)

(1.17)

Связь между изгибающими и скручивающим моментами и изменениями кривизны и кручения (компонентами вектора деформации ) устанавливается с помощью соотношений Кирхгофа

(1.18)

где – тензор упругой податливости стержня, матрица которого в главных осях имеет вид

(1.19)

и где g, b – жесткости стержня на изгиб в двух плоскостях; к – жесткость на кручение.

Определение составляющих тензора податливости для произвольных осей производится по обычным правилам преобразования тензоров.