Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

1.3. Анализ уравнений криволинейных стержней для случая плоского кольца

В случае, если срединная линия стержня представляет собой плоскую кривую, например окружность, то вектор имеет только одну составляющую, отличную от нуля Местный базис будет совпадать с репером . Тогда из (1.16), (1,17) получим следующие уравнения (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Внутренние усилия и внешняя нагрузка на кривой брус:

а) растяжение; б) изгиб

Первая группа уравнений Клебша

(1.20)

Первая группа уравнений статики

(1.21)

Вторая группа уравнений Клебша

(1.22)

Вторая группа уравнений статики

(1.23)

Здесь обозначено: – угловые деформации бруса; – изменения компонент кривизны и кручения при деформациях; – продольное и поперечные усилия; – изгибающие и скручивающий моменты.

Первая группа уравнений Клебша (1.20) (первые два уравнения) дают с учетом растяжения кольца связь между деформациями в кольце и перемещениями при растяжении-сжатии в плоскости кольца. Третье уравнение в этой группе выражает связь между углом изгиба a кольца и прогибом w при изгибе из плоскости кольца.

Вторая группа уравнений Клебша (1.22) (первые два уравнения) дают связь между деформациями изгиба и кручения кольца с компонентами изменения кривизны и кручения при изгибе. Третье уравнение в этой группе устанавливает связь между изменением кривизны и углом поворота при изгибе в плоскости кольца.

Первая группа уравнений статики (1.21) (первые два уравнения) соответствует уравнениям равновесия бесконечно малого элемента кольца при деформациях в плоскости кольца, а третье уравнение дает связь между поперечными силами при изгибе.

Вторая группа уравнений статики (1.23) (первые два уравнения) с учетом знака кривизны представляет собой уравнения равновесия бесконечно малого элемента стержня при изгибе, а третье уравнение соответствует уравнению моментов сил относительно оси и дает связь между внутренними силовыми факторами в стрежне при растяжении, но без учета продольной силы и изменения радиуса кривизны .

Рассмотрим подробней деформации плоского кругового кольца. В этом случае второе соотношение (1.20) становится неоднородным – появляется деформация e.

Будем считать, что внешние силы располагаются в плоскости кривизны. Предположим также, что в этой плоскости располагается одна из главных осей инерции поперечного сечения кольца и сечение симметрично относительно этой оси.

Используя гипотезу плоских сечений, запишем выражение для относительной продольной деформации e (поперечной деформацией пренебрегаем) произвольного волокна кольца (рис. 1.4).

(1.24)

Рис. 1.4. Деформация плоского кругового кольца:

а) вид в плане; б) сечение кольца

Рассматриваемую деформацию можно представить в виде суммы линейной по оси стержня и угловой деформацией

(1.25)

Тогда, считая приближенно, что напряженное состояние в кольце одноосно и не учитывая давления волокон друг на друга, можно принять

(1.26)

Умножая это выражение на переменную местной системы координат x и интегрируя по всей площади поперечного сечения кольца А = ah, получим

(1.27)

где (1.28)

Из (1.25) и (1.27) найдем выражения для деформаций

(1.29)

(1.30)

Продольная сила в кольце N станет известной, если проинтегрировать выражение (1.26) по поперечному сечению кольца А

(1.31)

Интеграл здесь можно представить так

Тогда

(1.32)

(1.33)

Подставляя в (1.29) и (1.30), получим окончательные выражения линейной и угловой деформаций в кольце

(1.34)

(1.35)

где g – жесткость кольца на растяжение-сжатие; t, d – некоторые параметры, характеризующие жесткость на изгиб.