Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

1.4. Решение задачи о концентрации напряжений около неподкрепленных отверстий в пластинах

Для формулирования условий сопряжения между пластиной и подкреплением необходимо получить выражения для компонентов главного вектора и главного момента сил взаимодействия по контуру сопряжения, а также компонентов векторов смещений и поворотов [51].

Путем расчленения конструкции на отдельные элементы задача сопряжения сводится к решению соответствующих задач, относящихся к пластинке и подкреплению, загруженных реакциями.

Вначале рассмотрим более простую задачу для случая, когда контур отверстия не загружен, то есть подкрепление отсутствует. Решения этой задачи как для случая плоского напряженного состояния, так и для случая изгиба являются известными [49, 51]. Новая трактовка решений служит аналогом последующих решений для подкрепленных отверстий.

Рассмотрим решение для случая растяжения пластинки с круговым отверстием радиуса R. Толщина пластинки принята равной единице.

Рис. 1.5. Растяжение пластинки с круговым отверстием усилиями Х и Y

Компоненты напряженно-деформированного состояния в полярных координатах определяются по формулам

                                                    (1.36)

где Ф – функция напряжений; – упругие постоянные.

Общая форма решения бигармонического уравнения (1.7) в полярных координатах имеет вид

       (1.37)

из которой достаточно взять следующие составляющие

                                          (1.38)

Напряжения через функцию напряжений равны

(1.39)

Компоненты основного напряженного состояния на контуре (рис. 1.6) при растяжении усилиями на единицу длины Х и Y равны.

                                                         (1.40)

Представление (1.40) позволяет разбить исходное напряженное состояние на два: осесимметричное (всестороннее) растяжение-сжатие и антисимметричное (сдвиговое) растяжение-сжатие (рис. 1.7).

Рис. 1.6. Напряжение на наклонной площадке

Рис. 1.7. Представление исходного напряженного состояния в виде двух вспомогательных:

а) осесимметричное; б) сдвиговое

Из постановки задачи следует, что для определения постоянных, входящих в решение (1.38), необходимо удовлетворить условиям на бесконечности (1.40) и однородным условиям на контуре отверстия

.                                                                         (1.41)

Из условий на бесконечности определяются значения двух постоянных

Оставшиеся три постоянные С0, В2 и D2 определяются из граничных условий на контуре отверстий при = 1. Симметричная часть решения дает С0 = -R2B. Антисимметричная – систему двух уравнений, из которой

 

Напряжения на пластинке равны (задача Кирша) [49, 56].

                                                  (1.42)

Здесь в зависимости от значений внешних усилий, нормированных к единице, параметры В и А могут принимать значения, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Вид нагружения

Внешние усилия

Параметры

X

Y

В

А

Всестороннее раст.

1

1

1

0

Одноосн. раст. по Х

1

0

0,5

-0,5

Одноосн. раст. по Y

0

1

0,5

0,5

Антисимм. раст.-сжат.

-1

1

0

1

Антисимм. раст.-сжат.

1

-1

0

-1

В случае чистого изгиба пластинки моментами на бесконечности МХ и МY моменты, возникающие в пластинке, равны (рис. 1.8)

Рис. 1.8. Изгиб пластинки моментами МХ и МY на единицу длины контура L

(1.43)

Основное напряженное состояние характеризуется моментами

             (1.44)

Рис. 1.9. Моменты на наклонной площадке при изгибе

Структуры формул (1.44) позволяет так же как и в плоской задаче разложить напряженное состояние при изгибе на два вспомогательных: чистый всесторонний изгиб и аналог антисимметричного напряженного состояния при изгибе-скручивание.

Рис. 1.10. Скручивание пластинки моментами Мх и Му на единицу длины контура L

Составляя (1.43) и (1.44) при получим значения постоянных В0 и А2.

Оставшиеся три постоянных С0, В2 и D2 определяются из граничных условий на контуре Г

                                                                       (1.45)

и равны

Моменты в пластинке определяются по формулам [49, 51]

                               (1.46)

где в зависимости от значений внешних моментов, нормированных к единице, параметры В и А принимают значения, приведенные в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Вид нагружения

Внешние моменты

Параметры

Мх

Му

В

А

Всесторонний изгиб

1

1

1

0

Одноосный изгиб

1

0

0,5

-0,5

Одноосный изгиб

0

1

0,5

0,5

Антисимметр. изгиб

-1

1

0

1

Антисимметр. изгиб

1

-1

0

-1

При поперечном изгибе на контуре отверстия необходимо удовлетворить граничным условиям, включающим граничные значения момента М1 и обобщенной по Кирхгофу поперечной силы

Для симметричной части решение не изменится. Для антисимметричной части решение двух уравнений дает следующие значения постоянных

Моменты в пластинке при учете поперечных сил равны [49].

                              (1.47)

Учет поперечных сил приводит к изменению значений тангенциального момента, прогиба и угла поворота на контуре отверстия.

Так, отношение значений этих функций на контуре отверстия с учетом поперечных сил к значениям без учета поперечных сил соответственно равны: для тангенциального момента прогиба угла поворота что может привести к погрешностям в расчетах.

Применение гипотез Кирхгофа–Лява в теории изгиба тонких пластин сводит трехмерную задачу к плоской. Это справедливо в том случае, когда касательные напряжения малы по сравнению с нормальными. Отношение на контуре отверстия зависит от отношения h/R и вида деформации. Из (1.46) и (1.47) для одноосного изгиба получим

для скручивания

Откуда, принимая для касательных напряжений пятипроцентное значение от нормальных, что справедливо для инженерных расчетов, получим пределы применимости гипотез Кирхгофа–Лява в теории изгиба пластин с отверстиями при коэффициенте Пуассона

                                   (1.48)

В противном случае, необходимо учитывать деформации поперечного сдвига: теории Рейснера, Тимошенко [42], некоторые новые теории.