Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

1.5. Постановка и метод решения задач о концентрации напряжений около криволинейных отверстий в пластинах

Точные решения для пластин с отверстиями возможны только для кругового контура в полярных координатах и для эллиптического в эллиптических координатах. При это переменные разделяются. В случае криволинейного контура с закругленными углами (квадратного, прямоугольного) точное решение получить невозможно [18, 19]. Приближенные решения для таких контуров основаны на применении отображающих функций , которые, отображая криволинейный контур на круг, тем более точно реализуют это отображение, чем больше членов в этой функции.

В дальнейшем оказалось, что сходимость решения в особых угловых точках контура не зависит от увеличения числа членов в функции, а требует применения специальных приемов решения этих задач [60]. При этом решения получаются достаточно громоздкими с реализацией исключительно на ЭВМ.

Одним из методов, дающим эффективное приближенное решение плоской задачи для пластинки с криволинейным отверстием, в том числе и при наличии подкреплений, является рассматриваемый ниже метод малого параметра (метод “возмущения формы границы”), обоснованный в работах Г.Н. Савина и А.Н. Гузя [19, 50].

Рассмотрим плоскость переменных, к которым отнесена срединная плоскость пластинки (рис. 1.11). Здесь введены прямоугольная Х, Y, полярная и криволинейная система координат . Одна из координатных линий совпадает с контуром криволинейного отверстия. Функция комплексного переменного(1.49)

производит конформное отображение бесконечной плоскости Z с криволинейным отверстием на бесконечную плоскость с круглым отверстием единичного радиуса. При это необходимо, чтобы корни уравнения

лежали в плоскости внутри окружности единичного радиуса.

Функция принимается в виде:

                                                           (1.50)

где С – постоянные коэффициенты; – малый параметр.

Рис. 1.11. Криволинейный контур отверстия в пластине

Для практических задач достаточно использовать один-два члена функции . При этом достигается отображение различных контуров: эллиптического, треугольного, квадратного, овального и других.

Для непосредственной реализации метода необходимо граничные условия и решение уравнения (1.37) в полярных координатах разложить в ряд по малому параметру .  Переход от полярных к криволинейным координатам в граничных условиях производится путем применения формул изменения компонент тензора напряжений при повороте системы координат на угол между ними (рис. 1.11).

                      (1.51)

Или в случае изгиба

(1.52)

Разложение функций напряжений Ф в ряд по малому параметру представляется в следующем виде с учетом первого приближения

 (1.53)

где – некоторый дифференциальный оператор, зависящий от вида функции ).

Аналогичным образом производится разложение компонентов напряжений и тригонометрических функций [18].

Решение задачи получается в виде рядов

                         (1.54)

где j – количество приближений.

Нулевое приближение соответствует круговому контуру.

Если принять отображающую функцию в виде [18].

                                 (1.55)

то при получим (рис. 1.12) эллиптический контур (где а1, b1 – полуоси эллипса), часто встречающийся в качестве контура сопряжения при проектировании сосудов с наклонными патрубками.

Рис. 1.12. Контуры, получающиеся из отображающей функции

Для этой отображающей функции переменные равны при

Радиус кривизны криволинейного контура r*

Разложение их в ряды по

Дифференциальный оператор в разложении функции напряжений Ф в данном случае равен

                                                  (1.56)

где символами обозначены частные операторы.

При решении плоской задачи с криволинейным отверстием граничные условия (1.51) записываются в операторном виде

                                       (1.57)

где – операторы тригонометрических функций [18]

           (1.58)

Для первого приближения граничные условия запишутся в виде

                                        (1.59)

Операторы тригонометрических функций в первом приближении равны

  (1.60)

Система уравнений для решения задачи в первом приближении для эллиптического отверстия (n = 2) получится из (1.59) после подстановки напряжений по (1.39) с учетом оператора (1.56).

Отсюда, сопоставляя коэффициенты при свободных членах и получим следующие зависимости между неизвестными

                                                      (1.61)

                                                             (1.62)

                           (1.63)

При этом симметричное состояние характеризует система (1.62), антисимметричное – (1.63) и соотношение (1.61).

Для симметричного напряженного состояния из решения системы (1.62) следуют значения постоянных

Тангенциальные напряжения в первом приближении

                                      (1.64)

                                                                      (1.65)

где для симметричного состояния

   (1.66)

На контуре отверстия равны нулю, а для следует известная формула [18]

                                                (1.67)

Она совпадает с разложением в ряд по точной формулы, полученной другим методом [49]

                                                        (1.68)

В табл. 1.3 приведены результаты расчетов концентрации напряжений при всестороннем растяжении круглой пластины (Y = Х = 1) с эллиптическим отверстием для различных значений параметра а1/b1 на контуре отверстия при

Таблица 1.3

 

Отношение полуосей а1/b1

1,05

1,1

1,2

1,3

1,5

1,6

0 прибл.

2,00

2,00

2,00

2,00

2,00

2,00

I прибл.

2,096

2,192

2,396

2,52

2,80

2,923

II прибл.

2,096

2,198

2,435

2,587

2,96

3,136

Точн. реш.

2,101

2,212

2,444

2,616

3,00

3,20

Данные табл. 1.3 показывают, что уже первое приближение дает значение коэффициентов концентрации напряжений в опасных точках контура с приемлемой для практики точностью.