Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

1.6. Дифференциальные операторы в криволинейной системе координат

В дальнейшем при использовании граничных условий в виде (1.51) или (1.52) потребуется дифференциальные операторы первого, второго и третьего порядков по дуге контура и нормали

Для их вывода рассмотрим произвольный гладкий контур Г, описываемый уравнением рис. (1.11).

Введем на контуре Г подвижный репер Обход контура производится против часовой стрелки.

Рассмотрим операторы первого порядка и . Для сокращения записи введем обозначения и так далее.

Имеем

         (1.69)

Эти соотношения можно представить в виде матрицы

                                                          (1.70)

Так как в свою очередь то

                                                                  (1.71)

Здесь производные представляют собой направляющие косинусы нормали к контуру Г (рис. 1.11) в криволинейной системе координат.

                                                        (1.72)

                                                        (1.73)

Остальные производные в полярной системе координат определяются по формулам

                                    (1.74)

                            (1.75)

Подставляя (1.72), (1.73) и (1.74), (1.75) в (1.71), получим

                            (1.76)

Матрицу (1.70) можно тогда записать в виде

                                               (1.77)

Здесь – угол между полярной и криволинейной системами координат. Матрица операторов второго порядка получается аналогично

(1.78)

где учтено, что

В дальнейшем понадобятся операторы , а также с учетом кривизны контура r*.

Так как

Использование этого оператора для тригонометрических функций на контуре Г приводит к следующим зависимостям

                             (1.79)

В итоге, для операторов (d,ss) и (d,hn), s получим следующие представления в матричном виде

Для операторов третьего порядка [d,sn],s и [d,nn],s имеют место следующие выражения