Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

2.6. Замкнутое решение задачи сопряжения при осесимметричном нагружении плоского круглого днища

Плоские круглые днища сосудов и аппаратов, имеющие центрально расположенные патрубки, находятся в состоянии всестороннего равномерного растяжения напряжениями, где Р – внутреннее давление (рис. 2.4).

В случае осесимметричной задачи (всестороннего растяжения пластинки) касательные напряжения равны нулю и из оставшегося уравнения (2.41) получим следующее выражение для единственной постоянной Со.

(2.44)

Рис. 2.4. Расчетная схема задачи сопряжения плоского круглого днища с кольцом:

а) конструктивные размеры узла; б) вид нагрузки

Здесь через Х' обозначена относительная жесткость подкрепления на растяжение. Она равна

                                                                      (2.45)

Если модуляи упругости пластинки и подкрепления равны Е = Ек то

                                                                    (2.46)

где                                          (2.47)

Тогда при можно принять

                                                            (2.48)

Напряжения

                                                     (2.49)

При напряжении на бесконечности, нормированных к единице (B = 1), на контуре сопряжения Г при получим следующие формулы зависимости коэффициентов концентрации напряжений от параметра относительной жесткости Х

                                                                     (2.50)

                                                                    (2.51)

Черточки над коэффициентами концентрации напряжений в дальнейшем опущены.

Графики этих зависимостей для различных коэффициентов Пуассона = 0; 0,3; 0,5 приведены на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Зависимости напряжений от параметра Х на контуре Г при осесимметричном нагружении для различных значений коэффициента Пуассона

Точки пересечения кривых дают значения величин оптимальных, по терминологии Г.Н. Савина [49] подкреплений, которые не вызывают концентрации напряжений на контуре сопряжения.

                                                                           (2.52)

Из анализа графиков следует, что коэффициент Пуассона существенно влияет на напряжения только в области тяжелых (Х > Хопт.) подкреплений, а для легких (Х < Хопт.) его влияние, в общем, незначительно. Аналогичная оценка дана в работе [51].

Затухание возмущенного (дополнительного) напряженного состояния из-за наличия отверстия с учетом подкрепляющего элемента определяется сравнением второго слагаемого в (2.49) с единицей. Данные при = 0 приведены в табл. 2.4.

Для определения напряжений в подкрепляющем элементе найдем продольную силу N и изгибающий момент M, с учетом с учетом связи и в пренебрежении изменением кривизны Т1 = 0

                            (2.53)

Таблица 2.4

Параметр Х

Величина второго слагаемого в (2.49) при различных r

R

2R

3R

4R

5R

0

2,0

0,25

0,11

0,06

0,04

0,2

0,667

0,167

0,073

0,04

0,027

0,4

0,428

0,107

0,047

0,026

0,017

0,6

0,252

0,062

0,023

0,015

0,01

0,8

0,11

0,028

0,012

0,007

0,004

Используя теперь равенство получим общую формулу для напряжений в подкреплении, из которой можно определить напряжения в зависимости от величины деформации на различных радиусах: r = r– контуре сопряжения Г; r = r– оси подкрепления; r = (r*  – а) – свободном контуре L.

                   (2.54)

Если пренебречь изгибом подкрепления (М = 0), то все окружные напряжения в подкреплении становятся одинаковыми и погрешность неучета изгиба достигает от 5 до 15% в зависимости от параметра .

Результаты расчета концентрации напряжений в круглом днище, подкрепленном кольцом с параметром даны в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Параметр

Пластинка

Подкрепление

Х(2,48) = 0,2

Х'(2,46) = 0,222

0,318

1,682

1,585

1,670

1,760

X'

0,330

1,670

1,570

1,650

1,740