Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

2.7. Сопоставление точного и приближенного решений при осесимметричном нагружении

Точное решение осесимметричной задачи сопряжения можно получить путем приравнивания перемещений по контуру сопряжения Г пластинки и подкрепления, рассматриваемого как утолщенная пластинка (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Расчетная схема осесимметричной задачи сопряжения для кругового контура: а) общий вид; б) усилия в сопряжении

Интегрирование деформаций для пластинки с отверстием при действии нагрузки В на бесконечности приводит к следующей формуле для перемещений на контуре Г

                                                     (2.55)

Решение задачи Ляме для кругового кольца (подкрепления) дает

                                                          (2.56)

Здесь

Приравнивая эти перемещения, получим

                                                 (2.57)

Если сопоставить эту формулу с (2.50), то легко установить, что роль параметра 1/Х выполняет член

                                                                (2.58)

Для тонких (узких) подкреплений величину можно представить, если пренебречь слагаемыми второго порядка малости, в виде

                                                      (2.59)

Если, кроме того, пренебречь поперечной деформацией подкрепления ( = 0), то Х² будет совпадать с Х, определяемым по теории кривого бруса.

Напряжения через параметр Х² равны:

в пластине на контуре сопряжения

                                                              (2.60)

в подкреплении на контуре сопряжения

                                              (2.61)

на свободном контуре

                                              (2.62)

В табл. 2.6 приводится сопоставление расчетных значений окружных напряжений в пластинке и подкреплении по точным и приближенным формулам для различных значений e при постоянном отношении

Сопоставление значений коэффициентов концентрации напряжений, определяемых по приближенной теории кривого бруса и точной теорией плоского напряженного состояния, можно также провести для случая, когда высота кольца равна толщине пластины hк = h и модули упругости одинаковы Ек = Е, то есть подкрепления как такового нет и кольцо является продолжением пластинки. Данные расчетов для различных значений e приведены в табл. 2.7.

Таблица 2.6

Параметр = a/R

1/3

1/4

1/5

1/8

1/10

1/20

Окружные напряжения в пластине

1,29

1,18

1,39

1,32

1,47

1,42

1,62

1,59

1,68

1,66

1,82

1,82

Окружные напряжения в подкрепл.

1,60

1,47

1,62

1,55

1,65

1,62

1,74

1,73

1,79

1,78

1,86

1,86

Таблица 2.7

= a/R

Х

Х'

(X)

(X')

(X)

(X')

1/2

0,5

0,666

0,606

0,714

0,556

2,424

2,144

1/3

0,333

0,40

0,464

0,528

0,438

2,09

1,985

1/4

0,25

0,286

0,377

0,417

0,360

2,011

1,944

1/5

0,2

0,222

0,317

0,344

0,306

1,980

1,942

1/6

0,167

0,181

0,273

0,294

0,265

1,960

1,938

1/8

0,125

0,133

0,215

0,227

0,210

1,966

1,950

1/10

0,10

0,105

0,1777

0,185

0,174

1,967

1,957

1/20

0,05

0,051

0,094

0,096

0,093

1,978

1,981

Здесь напряжение определено по точной формуле теории плоского напряженного состояния, остальные формулы являются приближенными и напряжения подсчитаны для параметра относительной жесткости Х и Х'. Из анализа данных табл. 2.7 можно сделать вывод, что приближенная теория с достаточной для практики точностью отражает работу подкрепления; начиная со значения 1/4. Приближенную оценку можно проводить и при 1/3, исключение составляет значение 1/2, где приближенная теория несправедлива.

Рис. 2.7. Расчетная схема антисимметричной задачи