Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

2.8. Замкнутое решение задачи сопряжения при антисимметричном (сдвиговом) нагружении

Для анализа решения системы уравнения (2.35) или (2.41) для антисимметричного случая нагружения рассмотрим упрощения, вытекающие из допущения о безмоментности подкрепления, сразу в исходных уравнениях. Для этого предположим, что М и Q равны нулю, а подкрепление работает только на растяжение-сжатие [2].

Тогда исходная система уравнений (2.41) преобразуется к виду

                                                                      (2.63)

Из решения системы определим значения постоянных: Со – для симметричного и В2, D2 – для антисимметричного напряженных состояний. Постоянная Со совпадает с (2.44), остальные равны

                           (2.64)

Формулы для напряжений при подкреплении кругового отверстия в пластинке безмоментным кольцом

               (2.65)

Рассмотрим далее случай антисимметричного нагружения на бесконечности Y = -X = 1. Из (2.65) следуют зависимости коэффициентов концентрации напряжений на контуре Г при = 1 от параметра подкрепления Х. Графики этих зависимостей для различных значениях коэффициента Пуассона в наиболее нагруженных точках приведены на рис. 2.8.

Зависимости имеют вид

                                                           (2.66)

                                                           (2.67)

                                                           (2.68)

Знак “–” опущен, так как на концентрацию напряжений влияния не оказывает.

Точки пересечения кривых оптимального подкрепления в данном случае совпадают с рассмотренным ранее случаем всестороннего растяжения (рис. 2.5), но предельная асимптота, к которой стремится в случае симметричной задачи, равна , а в случае антисимметричной Влияние коэффициента Пуассона аналогично симметричной задаче. Необходимо отметить, что касательные напряжения в данном случае в точках максимумов в два раза больше нормальных. Поэтому для тяжелых подкреплений касательные напряжения являются более опасными, чем нормальные.

 

Рис. 2.8. Зависимости напряжений и от параметра х на контуре сопряжения Г при антисимметричном (сдвиговом) нагружении для различных значений коэффициента Пуассона

Напряжения в тонком подкреплении, работающем только на растяжении, определяются по формуле

                             (2.69)

и они получаются заниженными, чем на самом деле, и, кроме того, постоянными во всех точках поперечного сечения.

Для более точного определения напряжений в подкреплении необходимо учитывать изгиб кольца. Для этого воспользуемся теорией кривого бруса [57]. При антисимметричном нагружении получим, используя значения постоянных по безмоментному решению, на L.

           (2.70)

где

Из формулы (2.70) следует, что при t* = t, k = 0 и результат совпадает с (2.69) и дает значение на контуре сопряжения r = r*. При получаем значение на оси кольца, и, наконец, при r = r* – а свободном контуре L.

Несложные преобразования дают

                                                                   (2.71)

                                         (2.72)

                                         (2.73)

где

Сопоставление двух систем моментных (2.41) и безмоментных (2.63) уравнений и их анализ дают основание полагать, что безмоментные уравнения описывают главную, основную часть задачи сопряжения. Введение в эти уравнения моментных составляющих, пропорциональных и 2, где = а/R, при дают незначительные поправки, быстро убывающие при возрастании R.

Систему безмоментных уравнений можно привести к виду

    (2.74)

После некоторых преобразований для системы моментных уравнений получим

                    (2.75)

Введение во вторую систему приближенных выражений для и приводит к следующей системе

(2.76)

Таким образом, можно сделать вывод, что решение системы (2.74) соответствует первому приближению решения, выраженного в виде разложения в ряд по степени . Второе ( 0) и третье приближения (2 0) можно получить из (2.76), которое вместе с первым дают точность до пяти процентов и меньше при . При e <= 0,1 можно вообще ограничиваться только первым приближением, то есть не учитывать влияние изгиба подкрепления на напряжения в пластинке.