Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

4.2. Общее решение дифференциального уравнения цилиндрических оболочек применительно к задачам сопряжения

Для решения задач рассмотрим некоторые соотношения теории цилиндрических оболочек [10, 14, 29, 37].

Уравнения равновесия элемента срединной поверхности оболочки в усилиях и деформациях имеют вид

(4.5)

Соотношения для деформаций

(4.6)

Статико-геометрическая аналогия в теории оболочек предопределяет аналогию следующих факторов

;

(4.7)

Откуда следуют шесть уравнений совместности

(4.8)

(4.8)

Здесь – компоненты вектора поворота в срединной поверхности оболочки; – компоненты вектора поворота в плоскости, перпендикулярной срединной поверхности оболочки.

Из третьего и шестого уравнений совместности путём введения функции усилий F и прогиба W можно получить два разрешающих дифференциальных уравнения восьмого порядка (1.4).

Это уравнение можно представить как совокупность четырёх уравнений второго порядка

(4.9)

На основе (4.1) принимаем

(4.10)

Решение может быть представлено в виде

(4.11)

где Cj – неизвестные коэффициенты; Jj – функции А.Н. Крылова.

Рассмотрим одно уравнение из (4.9)

(4.12)

Подставляя (4.10) в (4.12), получим

(4.13)

Отсюда найдём характеристическое уравнение

(4.14)

которое имеет корни

(4.15)

Представим (4.15) в виде разложения в ряд. Тогда для корней получим

(4.16)

(4.17)

Оценим погрешность замены этих разложений их первыми членами.

Погрешность замены для первого корня равна

(4.18)

а второй корень на порядок меньше.

Такое представление корней позволяет представить решение уравнения (1.4) единообразно с осесимметричным случаем через функции А.Н. Крылова.

(4.19)

где Фосн. – основное напряженное состояние в оболочке, связанное с малыми корнями характеристического уравнения; Фкр.эфф. – напряженное состояние краевого эффекта, связанное с большими корнями характеристического уравнения; Аj – неивестные, определяемые из граничных условий.

Для компонент напряженно-деформированного состояния имеем

(4.20)