Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

4.4. Замкнутое решение при подкреплении бесконечно длинной оболочкой. Эффективная высота оболочки

Полученные в предыдущем параграфе решения дают только количественные результаты для конкретного конструктивного варианта. Они не могут дать качественной характеристики работы сопряженных элементов конструкций. Необходимо получить решение в замкнутом виде.

Наиболее просто решение в замкнутом виде можно получить в случае подкрепления оболочкой “бесконечной” длины (высоты). При этом вместо функций А.Н. Крылова применяются затухающие функции Циммермана

.

В соответствии с [37] выбор упрощающих допущений при решении дифференциальных уравнений теории цилиндрических оболочек связан с соотношениями размеров оболочки: длинные, у которых длина во много раз превосходит размеры поперечного сечения; средней длины и коротки, у которых длина соизмерима или меньше радиуса кривизны. Для длинных оболочек пренебрегалось в уравнениях равновесия силой Q1 и моментами М11 и М12. для коротких – тангенциальными перемещениями в формулах изменения кривизны и кручения и поперечной силой во втором уравнении равновесия.

Приближенные решения в теории цилиндрических оболочек, основанные на методе асимптотического интегрирования [37], сводят все подходы к двум предельным дифференциальным уравнениям:

; (краевой эффект)

(основное напряженное состояние)

По этому методу при интегрировании по сохраняются только члены, содержащие высшие производные по , так как при каждом интегрировании пренебрегаемые члены уменьшаются в раз или в раз. Точность решения составляет по сравнению с единицей.

Компоненты напряжённо-деформированного состояния в цилиндрической оболочке при осесимметричной нагрузке определяются в виде

Краевые значения функций в начале координат ( = 0)     

w0 = A;                                                            (4.38)

Если оболочка расположена симметрично относительно срединной плоскости пластинки, то краевые значения прогиба и изгибающего момента при действии реакций пластинки в средней части оболочки (начале координат) равны

                                                  (4.39)

Аналогично для случая расположения оболочки, с одной стороны, при действии реактивных силы Q0 и момента М0 в начале координат ( = 0) для краевых значений можно получить

                           (4.40)

Применение затухающих функций позволяет сократить количество граничных условий (4.32) до трёх

                       (4.41)

После некоторых преобразований получим одно уравнение относительно реакции пластинки

                                             (4.42)

Откуда получим решение в замкнутом виде (R0 ~ R)

            (4.43)

Сопоставляя (2.50) и (4.43), нетрудно заметить, что в (4.43) роль параметра 1/Х выполняет член Из равенства этих величин и определяется эффективная высота подкрепляющей оболочки

                               (4.44)

Эта формула совпадает с формулой А.А. Курдюмова [   ].

Максимальные тангенциальные напряжения в оболочке при = 0  равны

от растяжения

                                         (4.45)

от изгиба

В случае одностороннего расположения подкрепляющей оболочки граничные условия запишутся так

              (4.47)

Эти условия приводят к двум уравнениям (знак момента М0 изменен на обратный для согласования направления деформации)

                               (4.48)

Отсюда определяются поперечная сила Q0 и изгибающий момент в сопряжении М0 (R0 ~ R)

                                        (4.49)

и далее радиальные напряжения в пластинке

                                                           (4.50)

Здесь – характеризует упругую податливость соединения на изгиб-упругая заделка. При n 0 К 0 оболочка жестко защемлена на вырезе. При n К 0 оболочка свободно оперта.

Параметр n определяется по формуле

                                           (4.51)

Числовое значение параметров n и к для некоторых характерных отношений и приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

R/h0

5

10

15

h0/h

0,1

0,5

1,0

1,5

2,0

0,1

0,5

1,0

1,5

2,0

0,1

0,5

1,0

n

0

0,51

4,09

13,8

32,7

0

0,73

5,80

19,6

46,5

0

0,59

1,0

К

1

1,34

1,80

1,93

1,97

1

1,42

1,82

1,95

1,98

1

1,47

1,88

Как видно из таблицы, только при толщине пластины, равной десяти толщинам оболочки, достигается жёсткое защемление. При одинаковых толщинах h0 = h параметр К равен 1,8, что близко к 2, то есть упругая заделка близка к свободному опранию.

Параметр относительной жёсткости в случае свободного опирания равен

                                                                                (4.52)

а эффективная высота

                                                          (4.53)

что примерно в четыре раза меньше высоты в случае симметричного расположения подкрепляющей оболочки.

Предельное значение bэфф. для жёсткого защемления при равно

                                                           (4.54)