Pull down to refresh...

Главное меню

Main menu

5.2. Основное разрешающее уравнение в теории пологих сферических оболочек

Дифференциальное уравнение сферического элемента, используемое при решении задач сопряжения, выведено в предположении, что напряжённое состояние в элементе есть состояние с большим показателем изменяемости, то есть существенную роль играют изгибные факторы. Считается, что нормальный прогиб w существенно больше окружного смещения u, а поперечная сила в двух первых уравнениях равновесия может быть опущена.

Если ввести функции усилий F по формулам

(5.7)

то, преобразуя уравнения равновесия (5.4) и уравнения совместности (5.6), получим

(5.8)

где (5.9)

Или в комплексной форме

где введены обозначения

Решение (5.9) представим в виде суммы решений двух уравнений – уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца.

(5.10)

где – параметр кривизны; b0 – радиус отверстия в оболочке.

Для осесимметричного случая эти решения равны

(5.11)

(5.12)

где – функции Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка; – функции Ханкеля 1 рода мнимого аргумента нулевого порядка.

Подставляя эти решения в (5.10) и отделяя действительные и мнимые части, получим

(5.13)

(5.14)

где А3, В3, С3, D3, D0 – неизвестные коэффициенты.

Компоненты напряжённо-деформированного состояния в оболочке определяются по формулам

(5.15)

где – относительные “полярные” координаты.

Введём для функций bev, bei, her, hei следующие обозначения:

При больших аргументах х > 1) специальные функции и их первые производные могут быть выражены через следующие асимптотические выражения (х = х):

(5.16)

Из рассмотрения выражений (5.16) следует, что при х -> функции I1, I2 и производные стремятся к бесконечности, а I3, I4 и производные к нулю.

Вторые производные определяются по формулам

(5.17)

Если ввести относительный прогиб по формуле

(5.18)

то функция также будет удовлетворять уравнению (5.9). Тогда, если известна функция Ф*, то функция прогибов будет иметь вид

(5.19)

а функция усилий

(5.20)

Отделяя мнимую и действительную части комплексной функции Ф*, получим

(5.21)

(5.22)

где

Компоненты напряжённо-деформированного состояния в сферической оболочке равны по (5.15)

(5.23)

где

(5.24)