Pull down to refresh...

Main menu

Main menu

5.1. Геометрические зависимости и уравнения равновесия в теории сферических оболочек

Рассмотрим осесимметричное напряжённо-деформированное состояние сферической оболочки, толщиной hсф с радиусом срединной плоскости Rсф, ограниченной сверху и снизу центральными круговыми параллельными радиусами b0 и b1 (рис. 5.1)

Рис. 5.1. Геометрия сферической оболочки

Оболочку отнесём к географическим (, ) и полярными (r, ) координатам. Будем считать оболочку пологой, то есть такой, что отношение высоты подъёма к максимальному размеру в плане меньше 1/5, что реализуется в конструкциях сосудов и аппаратов.

Граничные контуры обозначим через Г и L. Под действием осесимметричной нагрузки в оболочке появляются следующие внутренние силовые факторы на единицу длины: Nr и N – продольные усилия; Мr и М – изгибающие моменты; Qr – поперечная сила.

Положение любой точки срединной поверхности оболочки определяется в помощью географических координат и , в которых первая квадратная форма поверхности имеет вид

(5.1)

Для пологих оболочек можно от координат(, ) перейти к “полярным” координатам (r, ) на плоскости, над которой возвышается оболочка. Тогда квадратичная форма

(5.2)

Если использовать относительные координаты отнесённые к величине радиуса отверстия в0, то квадратичная форма запишется в виде

(5.3)

В полярных координатах (r, ) уравнения равновесия бесконечно малого элемента оболочки имеют вид [19]

(5.4)

Геометрические соотношения, связывающие деформации и перемещения, принимаются в обычном виде [19]

kr = -w,rr;

(5.5)

При этом имеет место уравнение неразрывности деформаций

(5.6)

Связь между усилиями и деформациями принимается по (1.13).